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Tetris, ein seit über 40 Jahren beliebtes Spiel, zeigt erstaunliche mathematische Komplexität. Es geht darum, herabfallende Bausteine so anzuordnen, dass sie das Spielfeld lückenlos füllen. Im Gegensatz zu klassischen Parkettierungsproblemen verschwinden bei Tetris vollständig gefüllte Reihen.

Mathematiker haben festgestellt, dass die Frage, ob sich ein Tetris-Spiel lösen lässt, zu den NP-vollständigen Problemen gehört, die schwer zu lösen, aber leicht zu überprüfen sind. Tetris wurde mit dem 3-Partitionsproblem in Verbindung gebracht, was seine hohe Komplexität zeigt.

Noch bemerkenswerter ist, dass Tetris unentscheidbare Eigenschaften besitzt. Unter bestimmten Bedingungen ist es unmöglich vorherzusagen, ob ein Spielfeld geleert werden kann, selbst mit unendlicher Rechenleistung. Diese Unentscheidbarkeit ist mit den Sätzen von Kurt Gödel verbunden.

Trotz dieser Komplexitäten bleibt Tetris ein beliebtes Spiel, das weiterhin neue Rekorde und Spieltechniken hervorbringt. Die Geschwindigkeit des Spiels lässt wenig Raum für mathematische Überlegungen, doch die dahinterliegende Mathematik macht Tetris besonders faszinierend.

-- Zusammenfassung durch Le Chat - Mistral AI

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Johannes Kepler, ein bedeutender Wissenschaftler, irrte sich in der Annahme, das Geheimnis der Welt entschlüsselt zu haben. Sein Fokus lag auf dem Sonnensystem, das zu seiner Zeit nur aus sechs bekannten Planeten bestand. Kepler glaubte, die Anordnung der Planetenbahnen durch die fünf platonischen Körper erklären zu können, eine Idee, die sich als falsch herausstellte, aber dennoch seinen Weg zur Entdeckung der Planetenbewegungsgesetze ebnete.

Ein interessantes mathematisches Konzept, das mit Kepler in Verbindung gebracht wird, ist die Kepler-Bouwkamp-Konstante. Diese Konstante ergibt sich aus einer geometrischen Konstruktion, bei der abwechselnd Kreise und regelmäßige Vielecke ineinander eingeschrieben werden. Der Radius des innersten Grenzkreises wird durch diese Konstante beschrieben, die jedoch eher historische als mathematische Bedeutung hat.

Christoffel Jacob Bouwkamp veröffentlichte 1964 einen Artikel über diese Konstruktion und verbesserte die Berechnungsmethoden. Obwohl Kepler selbst nichts zu dieser Konstante beitrug, trägt sie seinen Namen, was auf seine mutigen und wegweisenden Ideen zurückzuführen ist. Keplers Ansatz, die Welt rational und wissenschaftlich erklären zu wollen, war für seine Zeit revolutionär und bleibt bis heute inspirierend.

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Das optimale Zahlensystem basiert nicht auf einer ganzen Zahl, sondern auf der irrationalen eulerschen Zahl e ≈ 2,718. Während das Dezimalsystem für Menschen praktisch ist, nutzen Computer das Binärsystem mit nur zwei Ziffern, da es technisch einfacher umzusetzen ist.

Historisch gab es Versuche, Computer mit drei Ziffern (Ternärsystem) zu bauen, die theoretisch effizienter sind. Das balancierte Ternärsystem, das die Ziffern -1, 0 und 1 verwendet, wurde sogar als das schönste Zahlensystem bezeichnet. Es ermöglicht bestimmte Berechnungen in weniger Schritten als das Binärsystem.

Ein Beispiel für einen ternären Computer ist die Setun, die in der Sowjetunion entwickelt wurde. Trotz ihrer Vorteile konnten sich ternäre Computer nicht durchsetzen, da die Hardware für drei Zustände schwierig zu realisieren ist und nicht kompatibel mit binären Systemen.

Heute arbeiten alle Computer mit Transistoren, die nur zwei Zustände kennen. Ternäre Computer bleiben daher Hobbyprojekte für Enthusiasten.

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Zwei bekannte Mathematik-YouTube-Kanäle stritten sich über die Behauptung, dass die Summe aller natürlichen Zahlen (1 + 2 + 3 + ...) gleich -1/12 sei. Das Numberphile-Video von 2014 löste eine Kontroverse aus, auf die der Mathematiker Burkard Polster 2018 mit einem kritischen Video reagierte. Polster argumentierte, dass die Summe nicht konvergiert und die Erklärung zu oberflächlich sei.

Trotz der Kritik gibt es mathematische Konzepte, die diese Verbindung erklären, und Physiker nutzen sie erfolgreich in der Quantenphysik. 2024 veröffentlichte Tony Padilla eine Facharbeit, die die Gleichheit der Summe mit -1/12 begründet. Der Streit bleibt jedoch ungelöst, da Polster noch nicht darauf reagiert hat.

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Mathematiker suchten jahrzehntelang nach einer Lösung für das Problem des idealen Schnitts durch hochdimensionale Körper. 1986 stellte der belgische Mathematiker Jean Bourgain die Frage, ob es möglich ist, eine konvexe Form so zu teilen, dass die Schnittfläche einen bestimmten Wert übersteigt.

Bo'az Klartag und Joseph Lehec haben nun eine Antwort gefunden: Ja, es ist möglich. Ihre Arbeit baut auf den Fortschritten von Qingyang Guan auf, der eine Technik aus der Physik nutzte. Guan zeigte, dass die Modellierung der Wärmestrahlung eines Objekts geometrische Strukturen enthüllen kann.

Mit Guans Erkenntnissen konnten Klartag und Lehec das Problem in wenigen Tagen lösen. Dies ist ein bedeutender Fortschritt in der Geometrie konvexer Körper in hohen Dimensionen, auch wenn neue Fragen aufgeworfen werden.

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Paper: Affirmative Resolution of Bourgain's Slicing Problem using Guan's Bound | PDF

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Das Konzept des "Mikromort" quantifiziert das Sterberisiko verschiedener Aktivitäten. Ein Mikromort entspricht einer Wahrscheinlichkeit von eins zu einer Million, bei einer bestimmten Tätigkeit zu sterben. Beispielsweise beträgt das Risiko, bei einem Marathon zu sterben, sieben Mikromort, während das Besteigen des Matterhorns 2840 Mikromort entspricht.

David Spiegelhalter führte die Einheit "Mikroleben" ein, um die langfristigen Auswirkungen von Gewohnheiten auf die Lebenserwartung zu messen. Ein Mikroleben entspricht einer halben Stunde Lebenszeit. Im Gegensatz zu Mikromort summieren sich Mikroleben, was sie für die Bewertung langfristiger Gewohnheiten nützlicher macht.

Die Berechnung von Mikroleben erfordert den Vergleich der Lebenserwartung verschiedener Personengruppen. Langzeitstudien helfen, diese Effekte zu isolieren.

Trotz ihrer Nützlichkeit sollten Mikromort und Mikroleben nicht überbewertet werden. Die Welt ist komplex, und einfache Maßeinheiten können nicht alle Folgen einer Handlung erfassen. Dennoch können sie helfen, irrationale Ängste zu überwinden und ein besseres Gespür für Risiken zu entwickeln.

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Wikipedia:

• Mikromort

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Das Kartenspiel Dobble basiert auf einer faszinierenden mathematischen Struktur, bei der jede der 55 Karten exakt ein Symbol mit jeder anderen Karte teilt. Diese Eigenschaft macht das Spiel nicht nur unterhaltsam, sondern verbindet es auch mit einem der größten ungelösten Probleme der Geometrie: der Existenz projektiver Ebenen.

Die Mathematik hinter Dobble lässt sich durch endliche projektive Ebenen erklären, bei denen jede Karte als Linie und jedes Symbol als Punkt dargestellt wird. Diese Ebenen erfüllen zwei Bedingungen: Jede Linie verbindet genau zwei Punkte, und jede Linie schneidet sich mit jeder anderen Linie genau einmal. Diese Konzepte stammen aus der Geometrie und sind essenziell für das Design des Spiels.

Ein einfaches Beispiel für eine solche Ebene ist die Fano-Ebene mit sieben Linien (Karten) und Punkten (Symbolen). Für größere Spiele wie Dobble müssen die Karten und Symbole jedoch so angeordnet werden, dass sie die Bedingungen der projektiven Ebenen erfüllen. Dies führt zu der Frage, für welche Ordnungen n solche Ebenen existieren, was bis heute ein ungelöstes mathematisches Problem darstellt.

Dobble selbst entspricht einer projektiven Ebene der Ordnung 7, was bedeutet, dass es 57 Symbole gibt, von denen jeweils acht auf einer Karte abgebildet sind. Interessanterweise enthält das Spiel nur 55 Karten, wobei die Gründe dafür unklar bleiben. Trotz dieser mathematischen Tiefe bleibt Dobble ein Spiel, das Geschwindigkeit und ein gutes Auge erfordert, um zu gewinnen.

-- Zusammenfassung mit Hilfe von Le Chat - Mistral AI

Wikipedia:

• Projektive Ebene
• Fano-Ebene

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Mathematik kann bei der Verbrechensbekämpfung nützlich sein, nicht nur in Filmen wie "Numb3rs", sondern auch in der Realität. Ein Beispiel ist die Formel von Kim Rossmo, einem kanadischen Polizisten und Kriminologen. Diese Formel hilft, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein Serientäter in einem bestimmten Gebiet lebt, basierend auf den Tatorten.

Rossmo entwickelte die Formel in seiner Dissertation 1995. Sie berücksichtigt, dass Serientäter oft nicht in der Nähe ihres Wohnorts zuschlagen, aber auch nicht zu weit entfernt. Durch die Analyse der Tatorte kann man so den wahrscheinlichen Wohnort des Täters eingrenzen.

Die Formel hat in der Praxis bereits geholfen, ist aber nicht in allen Fällen anwendbar, etwa wenn der Täter umzieht. Sie kann auch in anderen Bereichen genutzt werden, wie zur Analyse von Piratenangriffen oder dem Jagdverhalten von Tieren. Mathematik bietet also vielfältige Anwendungen, auch wenn das echte Leben weniger dramatisch ist als Krimiserien.

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Tiere zeigen bemerkenswerte mathematische Fähigkeiten, die manchmal sogar die von Menschen übertreffen.

Anfang des 20. Jahrhunderts beeindruckte das Pferd "Kluger Hans" mit scheinbaren Rechenkünsten, was Charles Darwins Theorie über tierische Kognition bestätigte. Spätere Forschungen zeigten, dass Hans auf nonverbale Hinweise reagierte.

Verhaltensforscher wie Otto Koehler entdeckten, dass verschiedene Tiere ein Zahlenverständnis besitzen. Primaten können Mengen unterscheiden, addieren, subtrahieren und symbolische Zahlzeichen verstehen. In Experimenten übertrafen Schimpansen sogar Menschen bei bestimmten Aufgaben.

Vögel, wie der Graupapagei Alex, lösen leichte Rechenaufgaben und verstehen das Konzept der Null. Auch Bienen zeigen mathematische Fähigkeiten und erkennen die Null, was als hohe kognitive Leistung gilt.

Beim "Ziegenproblem" übertreffen Vögel Menschen in statistischen Entscheidungen. Tauben lernten schnell, ihre Wahl zu ändern, um die Gewinnchancen zu erhöhen.

Der "Kluger-Hans-Effekt" prägt die Verhaltensforschung bis heute, indem er auf die Bedeutung nonverbaler Hinweise hinweist.

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1. Wie alles begann
2. Der Siegeszug der Mathematik
3. Vom Werkzeug zum Universalcode

Verfügbar bis zum 24.12.2025

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Eine Verschlingung ist ein mathematisches Konzept, das die Verknotung von Kurven im dreidimensionalen Raum beschreibt. Die Verschlingungszahl, berechnet durch die Formel lk = (k~+~ - k~-~) / 2, gibt an, wie stark zwei Kurven ineinander verschlungen sind, basierend auf der Anzahl positiver und negativer Kreuzungen.

Dieses Konzept findet Anwendung in verschiedenen Wissenschaften. In der Biologie hilft es, die Struktur der DNA zu verstehen, die in Zellen stark verdreht und verschlungen ist. In der Magnetohydrodynamik wird es genutzt, um die Verkettung von Feldlinien zu beschreiben, was wichtig für das Verständnis von Sonneneruptionen und Fusionskraftwerken ist.

In der Quantenmechanik ist die Verschlingungszahl fundamental für die Chern-Simons-Theorie, die bei der Beschreibung des Quanten-Hall-Effekts verwendet wird. Sie könnte sogar eine Rolle in Theorien der Quantengravitation spielen, wo sie helfen könnte, Quantenmechanik und allgemeine Relativitätstheorie zu vereinen.

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Free PDF and web-based calculus textbooks and problem books.

• CLP-1 Differential Calculus
• CLP-2 Integral Calculus
• CLP-3 Multivariable Calculus
• CLP-4 Vector Calculus
• CLP Source files

About:

The CLP calculus textbooks and problem books were written for standard university Calculus 1, 2, 3 and 4 courses at the Department of Mathematics, UBC.

The authors are three UBC Mathematics Department faculty, Joel Feldman, Andrew Rechnitzer and Elyse Yeager who wrote the texts and problems during (roughly) 2015-2018.

The initial impetus for writing the texts was the ever rising cost of textbooks.

Ich freue mich wieder darauf :)

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Wie ist es, an einem Thema zu forschen, das weltweit nur ein Dutzend Menschen verstehen? Und was hat das berüchtigte Langlands-Programm mit »Star Wars« zu tun? Das erzählt der Mathematiker Dennis Gaitsgory im Interview, der nun mit dem Breakthrough Prize für Mathematik ausgezeichnet wird.

Der Zauberwürfel, ein ikonisches Spielzeug der 1980er Jahre, feiert sein 50-jähriges Jubiläum. Erfunden von Ernö Rubik, einem ungarischen Bildhauer und Designer, sollte der Würfel das räumliche Denken fördern. Obwohl ähnliche Konzepte bereits existierten, war es Rubiks Version, die weltweit populär wurde.

Der Zauberwürfel besteht aus 26 Einzelsteinen und bietet 43 Trillionen mögliche Kombinationen. Trotz dieser Komplexität ist das Ziel einfach: Alle Farbflächen in den sortierten Urzustand bringen. Dieses klare Ziel und die mechanischen Geräusche beim Drehen machen den Würfel faszinierend.

Der internationale Durchbruch gelang dem Zauberwürfel 1979 auf der Nürnberger Spielwarenmesse. Von dort aus eroberte er die Welt und wurde zum Verkaufsschlager. Heute gibt es Speedcuber, die den Würfel in wenigen Sekunden lösen, und sogar Roboter, die ihn schneller als ein Augenaufschlag sortieren.

Für viele bleibt der Zauberwürfel jedoch ein frustrierendes Rätsel. Einfache Lösungsstrategien wie die Layer-by-Layer-Methode helfen Anfängern, während Fortgeschrittene auf die komplexere Fridrich-Methode setzen. Trotz aller Herausforderungen bleibt der Zauberwürfel ein bedeutendes Spielzeug, das Generationen geprägt hat.

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Die Spiegel-Lösung von 1981: "Schrei Hurra! Schmeiß 'ne Runde!" - Lösungsverfahren für den "Zauberwürfel"